Twierdzenia pozwalające wyliczać granice ciągów

Twierdzenie 1: o działaniach arytmetycznych na ciągach zbieżnych

Jeżeli $ \lim_{n\to \infty}{a_n}=a $ i $ \lim_{n\to \infty}{b_n}=b $, to

$ \lim_{n\to \infty}{(a_n+b_n)}=a+b,\\ \lim_{n\to \infty}{(c\cdot a_n)}=c\cdot a\textrm{ dla dowolnego }c\in \mathbb{R},\\ \lim_{n\to \infty}{(a_n\cdot b_n)}=a\cdot b,\\ \lim_{n\to \infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{a}{b}, b\in \mathbb{R}\setminus \{0\}. $

Przykład 1:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n}-5\right)} $

Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na ciągach zbieżnych, otrzymując

$ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n}-5\right)}=[3\cdot 0+2\cdot 0-5]=[0-5]=-5 $

Przykład 2:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{(3n+1)(-2n+4)}{1-3n-2n^2}} $

Rozwiązanie:
Zauważmy, że nie możemy od razu skorzystać z twierdzenia o działaniach arytmetycznych na ciągach zbieżnych, bo ciągi w liczniku i mianowniku są rozbieżne do $ -\infty $. Wykonamy najpierw przekształcenie algebraiczne, które pozwoli uzyskać ciągi zbieżne

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{(3n+1)(-2n+4)}{1-3n-2n^2}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n^2\left(3+\frac{1}{n}\right)\left(-2+\frac{4}{n}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n}-2\right)}}=\left[\frac{(3+0)(-2+0)}{0-0-2}\right]=3 $

Przykład 3:

Obliczmy $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt[3]{27n^6+3n^2+2}}{(4n-2)\sqrt{8n^2+2n}}} $

Rozwiązanie:
W liczniku i w mianowniku ułamka, który jest wyrazem naszego ciągu mamy ciągi rozbieżne do $ +\infty $, czyli wykonujemy przekształcenie algebraiczne pozwalające uzyskać ciągi zbieżne

$ \lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt[3]{27n^6+3n^2+2}}{(4n-2)\sqrt{8n^2+2n}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt[3]{n^6\left(27+\frac{3}{n^4}+\frac{2}{n^6}\right)}}{n\left(4-\frac{2}{n}\right)\sqrt{n^2\left(8+\frac{2}{n}\right)}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n^2\sqrt[3]{27+\frac{3}{n^4}+\frac{2}{n^6}}}{n^2\left(4-\frac{2}{n}\right)\sqrt{8+\frac{2}{n}}}}=\left[\frac{\sqrt[3]{27+0+0}}{(4-0)\sqrt{8+0}}\right]=\frac{3}{8\sqrt{2}} $

$Interpretacja twierdzenia ((Automatycznie|#tw_o_dwoch)) rozbieżnych do {OPENAGHMATHJAX()}+\infty{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Interpretacja twierdzenia o dwóch ciągach rozbieżnych do $ +\infty $

Rys. 1 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi, z których jeden ma od pewnego miejsca wyrazy większe od drugiego. Na pierwszym wykresie ciąg o wyrazach mniejszych (czerwony) jest rozbieżny do $ +\infty $ i na podstawia twierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy możemy wnioskować, że ciąg o wyrazach większych (niebieski) też musi być rozbieżny do $ +\infty $.

$Interpretacja geometryczna twierdzenia ((Automatycznie|#tw_o_dwoch)) rozbieżnych do {OPENAGHMATHJAX()}-\infty{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna twierdzenia o dwóch ciągach rozbieżnych do $ -\infty $

Na Rys. 2 przedstawiony jest ciąg o wyrazach większych (czerwony), który jest rozbieżny do $ -\infty $ i stąd wnioskujemy, że ciąg o wyrazach mniejszych (niebieski) tez musi być rozbieżny do $ -\infty $.

Twierdzenie 2: o dwóch ciągach

Jeżeli $ \lim_{n\to \infty}{a_n}=+\infty $ oraz od pewnego miejsca pomiędzy wyrazami dwóch ciągów zachodzą nierówności $ a_n\leq b_n $, to $ \lim_{n\to \infty}{b_n}=+\infty $

lub

Jeżeli $ \lim_{n\to \infty}{b_n}=-\infty $ oraz od pewnego miejsca pomiędzy wyrazami dwóch ciągów zachodzą nierówności $ a_n\leq b_n $, to $ \lim_{n\to \infty}{a_n}=-\infty $.

Przykład 4:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{(3\sin{n}-5)\cdot n^3} $

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach i wykorzystamy ograniczenie dla funkcji sinus $ \sin{n}\leq 1 $ prawdziwą dla wszystkich $ n $ naturalnych.
$ (3\sin{n}-5)\cdot n^3\leq (3\cdot 1-5)\cdot n^3=-2n^3\leq -n\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow}-\infty $

Ponieważ ciąg o wyrazach większych jest rozbieżny do $ -\infty $, zatem $ \lim_{n\to \infty}{(3\sin{n}-5)\cdot n^3}=-\infty $

Przykład 5:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} $

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach i będziemy wyraz naszego ciągu ograniczać od dołu. Zauważamy, że każdy wyraz ciągu jest sumą ułamków postaci $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ i składników sumy jest więcej im większe jest $ n $, czyli w $ n $-tym wyrazie ciągu jest dokładnie $ n $ składników. Aby ograniczyć tę sumę od dołu wybieramy składnik najmniejszy i mnożymy go przez liczbę składników otrzymując

$ +\infty\stackrel{n\to \infty}{\longleftarrow}\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}} $

Ponieważ ciąg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny do $ +\infty $, więc $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=+\infty $.

Przykład 6:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\left(2+\cos{n^2}\right)n^3}{n-3}} $.

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia i ograniczenia dla funkcji cosinus $ \cos{n}\geq -1 $ dla wszystkich $ n $ naturalnych. Otrzymujemy ograniczenie od dołu dla wyrazów naszego ciągu
$ \frac{n^2}{\left(1-\frac{3}{n}\right)}=\frac{n^3}{n\left(1-\frac{3}{n}\right)}=\frac{(2-1)n^3}{n-3}\leq \frac{\left(2+\cos{n^2}\right)n^3}{n-3}. $
Ponieważ zachodzi kolejne ograniczenie
$ +\infty\stackrel{n\to \infty}{\longleftarrow}n^2\leq \frac{n^2}{\left(1-\frac{3}{n}\right)} $

oraz ciąg o wyrazach mniejszych jest rozbieżny do $ +\infty $, to $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\left(2+\cos{n^2}\right)n^3}{n-3}}=+\infty $.

Przykład 7:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\left((-1)^n-2\right)n^2}{n+1}} $.

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o dwóch ciągach i zauważamy, że $ (-1)^n\leq 1 $. Otrzymujemy ograniczenie od góry wyrazu naszego ciągu
$ \frac{\left((-1)^n-2\right)n^2}{n+1}\leq \frac{\left(1-2\right)n^2}{n+1}=\frac{-n^2}{n+1}=\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow}-\infty $

Ponieważ ciąg o wyrazach większych jest rozbieżny do $ -\infty $, to $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\left((-1)^n-2\right)n^2}{n+1}}=-\infty $.

Interpretacja geometryczna twierdzenia ((Automatycznie|#tw_o_trzech))

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna twierdzenia o trzech ciągach

Rys. 3 przedstawia na jednym wykresie trzy ciągi, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca leżące pomiędzy wyrazami dwóch innych ciągów (niebieskiego i zielonego), przy czym ciągi o wyrazach skrajnych są zbieżne do tej samej granicy właściwej $ g $. Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągów skrajnych leżą w przedziale $ (g-\epsilon,g+\epsilon) $, a wyrazy ciągu środkowego leżą pomiędzy wyrazami ciągów skrajnych, to z konieczności w przedziale $ (g-\epsilon,g+\epsilon) $ leża prawie wszystkie wyrazy ciągu środkowego, czyli ma on taką sama granicę $ g $.

Twierdzenie 3: o trzech ciągach

Jeżeli $ \lim_{n\to \infty}{a_n}=g=\lim_{n\to \infty}{c_n} $ oraz od pewnego miejsca zachodzi nierównośc pomiędzy wyrazami trzech ciągów $ a_n\leq b_n\leq c_n $, to ciąg $ (b_n) $ jest zbieżny i $ \lim_{n\to \infty}{b_n}=g $.

Przykład 8:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\frac{n^2+n-\cos{n^2}}{2+n\sin{\sqrt{n}}+3n^2}} $

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach szacując wyraz naszego ciągu od dołu i od góry tak, aby otrzymać ciągi o tej samej granicy i wykorzystujemy znane ograniczenia funkcji sinus i cosinus $ -1\leq \sin{\sqrt{n}}\leq 1 $ i $ -1\leq \cos{n^2}\leq 1 $, które są prawdziwe dla każdego $ n $ naturalnego

$ \frac{1}{3}\stackrel{n\to \infty}{\longleftarrow}\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+3\right)}=\frac{n^2+n-1}{2+n+3n^2}\leq \frac{n^2+n-\cos{n^2}}{2+n\sin{\sqrt{n}}+3n^2}\leq \frac{n^2+n+1}{2-n+3n^2}=\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{2}{n^2}-\frac{1}{n}+3\right)}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow}\frac{1}{3} $

Zatem wnioskujemy, że $ \lim_{n\to \infty}{\frac{n^2+n-\cos{n^2}}{2+n\sin{\sqrt{n}}+3n^2}}=\frac{1}{3} $

Przykład 9:

Oblicz granicę $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot 2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot n}}\right)} $

Rozwiązanie:
Skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach i szacowania sumy od góry przez największy składnik pomnożony przez liczbę składników, a od dołu przez najmniejszy składnik pomnożony przez liczbę składników.
$ n\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot n}}\leq \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot 2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot n}}\right)\leq n\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} $
Zauważmy, że $ \lim_{n\to \infty}{\frac{n}{\sqrt{n^2+2\cdot n}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n}{n\cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}}}}=\left[\frac{1}{\sqrt{1+0}}\right]=1 $ oraz $ \lim_{n\to \infty}{\frac{n}{\sqrt{n^2+2}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{n}{n\cdot \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}}=1 $

Ponieważ skrajne ciągi mają tę samą granicę, to $ \lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot 2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n^2+2\cdot n}}\right)}=1 $.

Rysunek 4: Interpretacja geometryczna granicy iloczynu ciągów, z których jeden jest zbieżny do zera, a drugi jest ograniczony

Rys. 4 przedstawia wykres ciągu zbieżnego do zera (niebieski) oraz wykres ciągu ograniczonego (czerwony) i wykres ciągu, którego każdy wyraz jest iloczynem wyrazów poprzednich ciągów (zielony). Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu zbieżnego do zera leżą w przedziale $ (-\epsilon,\epsilon) $ i wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego lezą w przedziale $ [-A,A] $, to prawie wszystkie wyrazy iloczynu tych ciągów leżą w przedziale $ (-\epsilon A,\epsilon A) $. Z dowolności liczby $ \epsilon $ otrzymujemy, że liczba $ \epsilon A $ może też być dowolnie mała, czyli liczba zero jest granicą iloczynu wyjściowych ciągów.

Twierdzenie 4: o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego

Jeżeli $ \lim_{n\to \infty}{a_n}=0 $ i ciąg $ (b_n) $ jest ograniczony, to $ \lim_{n\to \infty}{(a_n\cdot b_n)}=0 $

Przykład 10:

Obliczmy $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\sin{n!}+2}{n^2+1}} $.

Rozwiązanie:
skorzystamy z twierdzenia o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego otrzymując

$ \begin{array}{rcl}\frac{\sin{n!}+2}{n^2+1}=&(\sin{n!}+2)\cdot&\frac{1}{n^2+1}\\&\downarrow &\downarrow n\to \infty \\&ograniczony&0\end{array} $

Zatem $ \lim_{n\to \infty}{\frac{\sin{n!}+2}{n^2+1}}=0 $.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka